Variationen ohne Zurücklegen

Eingestellt: 14.12.2010
Letzte Änderung: 20.12.2010


Keywords: Kombinatorik • Variationen • Zurücklegen • Reihenfolge
Betrifft: Excel-Funktion VARIATIONEN • Excel-Formeln für die Anzahl der Variationen ohne Zurücklegen
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Definitionen

Gegeben seien unterscheidbare Objekte, aus denen Objekte ausgewählt werden. Zu unterscheiden ist, ob mit oder ohne Zurücklegen ausgewählt wird, und ob die Reihenfolge, in der die Objekte ausgewählt werden, berücksichtigt wird oder nicht. Dabei wird eine Auswahl mit Berücksichtigung der Reihenfolge als Variation, eine Auswahl ohne Berücksichtigung der Reihenfolge als Kombination bezeichnet.

Kombinationen ohne Zurücklegen Variationen ohne Zurücklegen
Kombinationen mit Zurücklegen Variationen mit Zurücklegen

 

Variationen ohne Zurücklegen

Beim Ziehen ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es

verschiedene Möglichkeiten für .

 

Excel-Funktion VARIATIONEN

Zur Ermittlung der Anzahl der Variationen ohne Zurücklegen existiert die Excel-Funktion VARIATIONEN(n,k), wobei n die Anzahl unterscheidbarer Objekte ist, aus denen k Objekte ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen werden (ZoZuBdR). Folgendes Beispiel verdeutlicht die Syntax der Excel-Funktion VARIATIONEN.


Formel in der Tabelle:

E2: =VARIATIONEN(B1;B2)

Arbeitstabelle 1: Excel-Funktion VARIATIONEN

 

Excel-Formeln für die Anzahl der Variationen ohne Zurücklegen

Darüber hinaus lassen sich Excel-Formeln für die Anzahl der Variationen ohne Zurücklegen finden. Naheliegend ist für eine solche Excel-Formel die Excel-Funktion FAKULTÄT, wie in Zelle E3 der Arbeitstabelle 2 geschehen, heranzuziehen. Bei dieser ist jedoch nachteilig, dass das Argument Zahl auf den Wert 170 nach oben beschränkt ist, so dass die Excel-Funktion FAKULTÄT für größere Werte als 170 den Fehlerwert #ZAHL! liefert. Unabhängig dieser Beschränkung sollte bei allen Excel-Formeln einschließlich der Excel-Funktion VARIATIONEN beachtet werden, dass die Rechengenauigkeit in Excel auf 15 Stellen beschränkt ist. D.h. liegt ein Ergebnis mit mehr als 15 Stellen vor, so kann es sein, dass dieses fehlerhaft ist.

Weiter lässt sich mit den Excel-Funktionen PRODUKT, ZEILE und INDIREKT eine Arrayformel aufstellen, die die Anzahl der Variationen berechnet.  Vorangestellt werden in Zelle E4 der Arbeitstabelle 2 zwei WENN-Verschachtelungwn, wobeider Fall k=0 aufgrund der Excel-Funktion ZEILE abgefangen. wird wie auch die nicht definierten Fälle n<0, k<0 und n<k, bei denen die Excel-Formel den Fehlerwert #ZAHL! ausgibt. Denkbar ist weiter eine eigenständige Prüfung zu formulieren, ob es sich bei n und k um Zahlen handelt, auf die aber an dieser Stelle bewußt verzichtet wird.

Nachstehender Arbeitstabelle können Sie die beiden Excel-Formeln für die Anzahl der Variationen ohne Zurücklegen entnehmen.


Formel in der Tabelle:

E2: =VARIATIONEN(B1;B2)
E3: =FAKULTÄT(B1)/FAKULTÄT(B1-B2)
E4: {=WENN(ODER(B1<0;B2<0;B1<B2);#ZAHL!;WENN(B2=0;1;
PRODUKT(ZEILE(INDIREKT(B1&":"&B1-B2+1)))))}

Arbeitstabelle 2: Excel-Formeln für die Anzahl der Variationen ohne Zurücklegen


Praxisbeispiel

Die Personalabteilung eines Unternehmens hat k=3 neue Stellen in der Produktion zu vergeben, wobei n=5 geeignete Bewerber in die engere Auswahl gekommen sind. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die drei Stellen durch diese fünf Personen zu besetzen, wobei jeder Kandidat maximal eine Stelle inne haben kann? Es existieren 5•4•3=60 Möglichkeiten.

Abschließend sei noch angemerkt, dass die Excel-Funktion VARIATIONEN entgegen der Excel-Hilfe für den Fall k=n=0 den Wert 1 liefert und nicht den Fehlerwert #ZAHL!.

  

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