Kombinationen ohne Zurücklegen

Eingestellt: 20.12.2010
Letzte Änderung: 20.12.2010


Keywords: Kombinatorik • Kombinationen • Zurücklegen • Reihenfolge
Betrifft: Excel-Funktion KOMBINATIONEN • Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen
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Definitionen

Gegeben seien unterscheidbare Objekte, aus denen  Objekte ausgewählt werden. Zu unterscheiden ist, ob mit oder ohne Zurücklegen ausgewählt wird, und ob die Reihenfolge, in der die Objekte ausgewählt werden, berücksichtigt wird oder nicht. Dabei wird eine Auswahl mit Berücksichtigung der Reihenfolge als Variation, eine Auswahl ohne Berücksichtigung der Reihenfolge als Kombination bezeichnet.

Kombinationen ohne Zurücklegen Variationen ohne Zurücklegen
Kombinationen mit Zurücklegen Variationen mit Zurücklegen

 

Kombinationen ohne Zurücklegen

Beim Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es

verschiedene Möglichkeiten für .

 

Excel-Funktion KOMBINATIONEN

Zur Ermittlung der Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen existiert die Excel-Funktion KOMBINATIONEN(n,k), wobei n die Anzahl unterscheidbarer Objekte ist, aus denen k Objekte ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen werden (ZoZoBdR). Folgendes Beispiel verdeutlicht die Syntax der Excel-Funktion KOMBINATIONEN.


Formel in der Tabelle:
E2: =KOMBINATIONEN(B1;B2)

Arbeitstabelle 1: Excel-Funktion KOMBINATIONEN

 

Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen

Darüber hinaus lassen sich Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen finden. Naheliegend ist, wie in Zelle E3 der Arbeitstabelle 2, die Excel-Funktion FAKULTÄT für eine solche Excel-Formel heranzuziehen. Bei dieser ist jedoch nachteilig, dass das Argument Zahl auf den Wert 170 nach oben beschränkt ist, so dass die Excel-Funktion FAKULTÄT für größere Werte als 170 den Fehlerwert #ZAHL! liefert. Unabhängig dieser Beschränkung sollte bei allen Excel-Formeln einschließlich der Excel-Funktion KOMBINATIONEN beachtet werden, dass die Rechengenauigkeit in Excel auf 15 Stellen beschränkt ist. D.h. liegt ein Ergebnis mit mehr als 15 Stellen vor, so kann es sein, dass dieses fehlerhaft ist.

Der Ausdruck  wird häufig auch als Binomialkoeffizent bezeichnet. Mit Hilfe der im Artikel Binomialkoeffizent definierten Arrayformel lässt sich eine Excel-Formel für die Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen aufstellen, die nicht die Excel-Funktion FAKULTÄT verwendet. Dabei können bei dieser Formel, wie in der Zelle E4 der Arbeitstabelle 2 geschehen, über jeweils eine WENN-Verschachtelung die nicht definierten Fälle n<0, k<0 und n<k mit dem Fehlerwert #ZAHL! sowie die Fälle k=0 und k=n mit dem Wert 1 abgefangen werden. Denkbar ist weiter eine eigenständige Prüfung zu formulieren, ob es sich bei n und k um Zahlen handelt, auf die aber an dieser Stelle bewußt verzichtet wird.

Nachstehende Arbeitstabelle fasst die Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen zusammen.


Formel in der Tabelle:

E2: =KOMBINATIONEN(B1;B2)
E3: =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B1-B2)*FAKULTÄT(B2))
E4: {=WENN(ODER(B1<0;B2<0;B1<B2);#ZAHL!;WENN(ODER(B2=0;B1=B2);1;
PRODUKT(ZEILE(INDIREKT(B1&":"&B1-B2+1))/ZEILE(INDIREKT(B2&":"&1)))))}

Arbeitstabelle 2: Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen

 

Praxisbeispiel

Ein bekanntes Beispiel für die Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen lässt sich bei der Ziehung von Lottozahlen finden. So gibt es beim Lotto "6 aus 49", unter der Annahme es handelt sich dabei um ein Laplace-Experiment, bei dem k=6 Objekte ("Gewinnzahlen") aus n=49 Objekten ("Zahlen") ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ausgewählt werden, 13.983.816 Möglichkeiten.

 

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