Kombinationen mit Zurücklegen

Eingestellt: 28.12.2010
Letzte Änderung: 28.12.2010


Keywords: Kombinatorik • Kombinationen • Zurücklegen • Reihenfolge
Betrifft: Excel-Funktion KOMBINATIONEN • Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen mit Zurücklegen
Verwandte Themen: Kombinationen ohne Zurücklegen
Variationen mit ZurücklegenVariationen ohne Zurücklegen
Binomialkoeffizient • Multinomialkoeffizient
Binomische Formeln • Multinomische Formel • Permutationen


 

Definitionen

Gegeben seien unterscheidbare Objekte, aus denen  Objekte ausgewählt werden. Zu unterscheiden ist, ob mit oder ohne Zurücklegen ausgewählt wird, und ob die Reihenfolge, in der die Objekte ausgewählt werden, berücksichtigt wird oder nicht. Dabei wird eine Auswahl mit Berücksichtigung der Reihenfolge als Variation, eine Auswahl ohne Berücksichtigung der Reihenfolge als Kombination bezeichnet.

Kombinationen ohne Zurücklegen Variationen ohne Zurücklegen
Kombinationen mit Zurücklegen Variationen mit Zurücklegen

 

Kombinationen mit Zurücklegen

Beim Ziehen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es

 

 

verschiedene Möglichkeiten für .

 

Excel-Funktion KOMBINATIONEN

Zur Ermittlung der Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen existiert die Excel-Funktion KOMBINATIONEN. Diese Excel-Funktion kann ebenfalls für die Berechnung der Anzahl der Kombinationen mit Zurücklegen herangezogen werden, wobei für das erste Argument n+k-1 und für das zweite Argument k eingesetzt wird. Nachstehendes Beispiel zeigt die Berechnung für das Ziehen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge (ZmZoBdR) mit Hilfe der Excel-Funktion KOMBINATIONEN.


Formel in der Tabelle:
E2: =KOMBINATIONEN(B1+B2-1;B2)

Arbeitstabelle 1: Excel-Funktion KOMBINATIONEN

 

Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen mit Zurücklegen

Darüber hinaus lassen sich Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen mit Zurücklegen finden. Naheliegend ist, wie in Zelle E3 der Arbeitstabelle 2, die Excel-Funktion FAKULTÄT für eine solche Excel-Formel heranzuziehen. Bei dieser ist jedoch nachteilig, dass das Argument Zahl auf den Wert 170 nach oben beschränkt ist, so dass die Excel-Funktion FAKULTÄT für größere Werte als 170 den Fehlerwert #ZAHL! liefert. Unabhängig dieser Beschränkung sollte bei allen Excel-Formeln einschließlich der Excel-Funktion KOMBINATIONEN beachtet werden, dass die Rechengenauigkeit in Excel auf 15 Stellen beschränkt ist. D.h. liegt ein Ergebnis mit mehr als 15 Stellen vor, so kann es sein, dass dieses fehlerhaft ist.

Mit Hilfe der im Artikel Kombinationen ohne Zurücklegen definierten Arrayformel lässt sich ebenfalls eine Excel-Formel mit den Excel-Funktionen PRODUKT, ZEILE und INDIREKT für die Anzahl der Kombinationen mit Zurücklegen aufstellen. Dabei können bei dieser Excel-Formel, wie in der Zelle E4 der Arbeitstabelle 2 geschehen, über jeweils eine WENN-Verschachtelung die nicht definierten Fälle n≤0 und k<0 mit dem Fehlerwert #ZAHL! sowie der Fall k=0 mit dem Wert 1 abgefangen werden. Denkbar ist weiter eine eigenständige Prüfung zu formulieren, ob es sich bei n und k um Zahlen handelt, auf die aber an dieser Stelle bewußt verzichtet wird.

Nachstehende Arbeitstabelle fasst die Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen mit Zurücklegen zusammen.


Formel in der Tabelle:
E2: =KOMBINATIONEN(B1+B2-1;B2)
E3: =FAKULTÄT(B1+B2-1)/(FAKULTÄT(B2)*FAKULTÄT(B1-1))
E4: {=WENN(ODER(B1<=0;B2<0);#ZAHL!;WENN(B2=0;1;
PRODUKT(ZEILE(INDIREKT(B1+B2-1&":"&B1))/ZEILE(INDIREKT(B2&":"&1)))))}

Arbeitstabelle 2: Excel-Formeln für die Anzahl der Kombinationen mit Zurücklegen

 

Praxisbeispiel

Ein bekanntes Beispiel für die Anzahl der Kombinationen mit Zurücklegen ist das sogenannte Gummibärchenorakel. Bei diesem befinden sich in einer Tüte Gummibärchen mit n unterschiedlichen Farben. Es werden k Gummibärchen mit Zurücklegen gezogen, wobei gezählt wird, wie oft eine Farbe gezogen wurde. Der entsprechende Orakel-Spruch ergibt sich schließlich aus den Häufigkeiten der jeweiligen Farben. Die Fragestellung lautet, wie viele Orakel (bzw. Farbkombinationen) gibt es, wenn die Gummibärchen nach ihrer Farbe sortiert werden?

Zur Illustration wird angenommen, dass sich in einer Tüte Gummibärchen mit n=5 unterschiedlichen Farben (rot, gelb, weiß, grün, orange) befinden, aus der k=5 Gummibärchen mit Zurücklegen gezogen werden. Beachten Sie bitte: Es ist lediglich relevant zu wissen, wie viele verschiedenfarbige Gummibärchen sich in der Tüte befinden, nicht jedoch wie viele Gummibärchen sich insgesamt in der Tüte befinden, da lediglich die Anzahl der Möglichkeiten betrachtet wird (und nicht die Wahrscheinlichkeit) sowie mit Zurücklegen gezogen wird, so dass sich stets n=5 verschiedenfarbige Gummibärchen in der Tüte befinden. Das Problem der Bestimmung der Anzahl der Kombinationen mit Zurücklegen kann gelöst werden, indem es auf die Aufgabe die Anzahl der Kombinationen ohne Zurücklegen zu bestimmen zurückgeführt wird.

Bei diesem Lösungsweg kann zunächst eine Art Strichliste aufbereitet werden, in der sich n=5 Klassen (rot, gelb, weiß, grün, orange) befinden. Es wird nun ein Gummibärchen aus der Tüte gezogen, daraufhin in der Klasse, die der Farbe des gezogenen Gummibärchens entspricht, eine 1 eingetragen und schließlich das Gummibärchen zurück in die Tüte gelegt. Diese Vorgehensweise wird k=5-mal vollzogen. Ein mögliches Ergebnis zeigt Arbeitstabelle 3, bei welchem 2 rote, 0 gelbe, 1 weißes, 2 grüne und 0 orange Gummibärchen gezogen wurden.

Arbeitstabelle 3: Gummibärchenorakel - Strichliste und Umcodierung

Mit Hilfe der Klassen lässt sich die Häufigkeit ablesen, wie oft ein Gummibärchen mit einer bestimmten Farbe ausgewählt wurde. Die Häufigkeit einer Klasse ist minimal 0 und maximal k. Die Summe der Häufigkeiten aller Klassen entspricht k. Die Information, in welcher Reihenfolge die Gummibärchen gezogen wurden, wird demgegenüber nicht erfasst.

In einem zweiten Schritt wird ausgehend von der Strichliste eine andere Schreibweise für das Ziehungsergebnis vereinbart. Das Ergebnis soll mittels einer lediglich aus den beiden Ziffern 1 und 0 bestehenden Ziffernfolge dargestellt werden. Dabei werden die in der Strichliste eingetragenen 1en von der ersten bis zur letzten Klasse übernommen und die Trennung zwischen den Klassen mit der Ziffer 0 kenntlich gemacht. Im vorliegenden Beispiel ergibt sich aus einer solchen Umcodierung die Ziffernfolge 110010110. Bei n=5 Klassen besitzt die Ziffernfolge n-1=4-mal eine 0 und k=5-mal eine 1 und somit insgesamt n-1+k=9 Stellen.

Die gesuchte Anzahl der Möglichkeiten entspricht nun der Anzahl der Möglichkeiten aus den insgesamt n-1+k=9 Stellen der Ziffernfolge ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen n-1=4 Stellen für die Ziffer 0, d.h. für die Trennung der Klassen, auszuwählen. Alternativ können auch aus den insgesamt n-1+k=9 Stellen der Ziffernfolge k=5 Stellen für die Ziffer 1 gezogen werden. Eine Zuordnung der Ziffer 0 (bzw. 1) auf die n-1 (bzw. k) Stellen genügt, um eine Kombination der Ziffernfolge zu bestimmen, da alle anderen k (bzw. n-1) Stellen mit der Ziffer 1 (bzw. 0) belegt werden, wie Arbeitstabelle 4 veranschaulicht.

Arbeitstabelle 4: Gummibärchenorakel - Auswahl der Stellen

Dies entspricht aber gerade der Aufgabenstellung n-1=4 (bzw. k=5) Objekte aus n+k-1=9 Objekten ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen (Kombinationen ohne Zurücklegen) und kann mit dem Binomialkoeffizienten gelöst werden. Es gibt demnach

verschiedene Gummibärchenorakel.

Wird die Fragestellung des Gummibärchenorakels dahingehend geändert, dass die gezogenen Gummibärchen nicht nach ihrer Farbe sortiert werden, so lässt sich die Anzahl der Gummibärchenorakel mit Hilfe der Variationen mit Zurücklegen bestimmen und beträgt für n=5 und k=5 3.125.

 

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