Excel-Formeln für den Binomialkoeffizienten

Eingestellt: 29.12.2007
Letzte Änderung: 18.06.2010


Keywords: Binomialkoeffizient • Fakultät
Betrifft: KOMBINATIONEN • FAKULTÄT • HYPGEOMVERT • BINOMVERT • GAMMALN • GAMMALN.GENAU
Verwandte Themen: Multinomialkoeffizient • Binomische Formeln • Binomialverteilung • Hypergeometrische Verteilung


 

Einleitung

Nachstehend finden Sie eine benutzerdefinierte Funktion, eine zugehörige Excel-Funktion und korrespondierende Excel-Formeln zur Berechnung des Binomialkoeffizienten, welcher für ganzzahlige, nichtnegative n lautet:

(#1)

Der Binomialkoeffizient lässt sich verallgemeinern zu:

(#2)

Darüber hinaus sei auf nachstehende Beziehung aufmerksam gemacht: 

(#3)

 

Funktion BINC

Um den Wert des Binomialkoeffizienten für nichtnegative n und k zu berechnen, kann die folgende benutzerdefinierte Funktion BINC verwendet werden:

Function BINC(ByVal n As Double, ByVal k As Integer) As Variant
   
    Dim i As Integer
    
    If k < 0 Or n < 0 Then BINC = CVErr(xlErrNum): Exit Function
    If k > n Then BINC = 0: Exit Function
    If 2 * k > n Then k = n - k
    BINC = 1
    For i = 1 To k
        BINC = BINC * (n + 1 - i) / i
    Next i

End Function

wobei die Symmetrieeigenschaft des Binomialkoeffizienten ausgenutzt und der Binomialkoeffizient für k>n null gesetzt wird.

 

#1 - für nichtnegative ganzzahlige n

Für eine nichtnegative ganze Zahl n≥k lässt sich der Binomialkoeffizient durch die oben aufgeführte benutzerdefinierte Funktion BINC sowie der zugehörigen Excel-Funktion KOMBINATIONEN als auch mit Hilfe korrespondierender Excel-Formeln berechnen, deren Syntax anhand von Beispiel 1 kurz vorgestellt wird.


Beispiel 1 Binomialkoeffizient

Formeln in der Tabelle:
D1: =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*(FAKULTÄT(B1-B2)))
D2: =KOMBINATIONEN(B1;B2)
D3: =1/HYPGEOMVERT(B2;B2;B2;B1)
D4: =BINOMVERT(B2;B1;0,5;0)/0,5^B1
D5: {=PRODUKT((B1-(ZEILE(INDIREKT(1&":"&B2))-1))/(ZEILE(INDIREKT(1&":"&B2))))}
D6: =EXP(GAMMALN(B1+1)-GAMMALN(B2+1)-GAMMALN(B1-B2+1)
D7: =EXP(GAMMALN.GENAU(B1+1)-GAMMALN.GENAU(B2+1)-GAMMALN.GENAU(B1-B2+1)
D8: =BINC(B1;B2)

wobei die Excel-Formel in Zelle D5 als Arrayformel eingegeben werden muss.

Während die in Zelle D1 stehende und aus Definition #1 abgeleitete Excel-Formel bereits bei relativ geringen Fakultäten (>170) einen Fehlerwert ausweist, lässt sich eine solche Berechnung mit Hilfe der Excel-Funktion in Zelle D2, den Excel-Formeln in Zellen D3:D7 und der benutzerdefinierten Funktion in Zelle D8 durchführen.

Die Excel-Funktion für den Binomialkoeffizienten lautet KOMBINATIONEN(n;k), welche ebenfalls durch den Reziprokwert eines Spezialfalls einer hypergeometrischen Verteilung mit 1/HYPGEOMVERT(k;k;k;n) dargestellt werden kann.  Ferner lässt sich der Koeffizient über die Binomialverteilung mit  BINOMVERT(k;n;0,5;0)/0,5^n und über eine nach Definition #2 abgeleitete Excel-Formel bestimmen. Letztere kann - bspw. mit einer WENN-Funktion - ebenfalls für die Fälle n=0 und / oder k=0 definiert werden.

Über die in #3 genannte Beziehung kann die Excel-Funktion GAMMALN zur Berechnung des Binomialkoeffizienten herangezogen werden. Die Excel-Funktion GAMMALN.GENAU entspricht dabei der ab Excel 2010 verfügbaren, aktualisierten Excel-Funktion GAMMALN. Zu beachten ist ferner, dass Excel mit einer Genauigkeit von 15 Stellen rechnet, die Ergebnisse der Excel-Formeln mit GAMMALN bzw. GAMMALN.GENAU daher davon abweichend mit einer geringeren Genauigkeit behaftet sind.

Die Syntax der benutzerdefinierten Funktion lautet BINC(n;k). Der Vorteil der benutzerdefinierten Funktion BINC(n;k) in Zelle D8, der Arrayformel in Zelle D5 und den Excel-Formeln mit der Excel-Funktion GAMMALN bzw. GAMMALN.GENAU in den Zellen D6:D7 ist, dass diese darüber hinaus auch den Wert des Binomialkoeffizienten für reelle n berechnen können.

 

#2 - für nichtnegative reelle n

Der Binomialkoeffizient lässt sich mit der Excel-Funktion KOMBINATIONEN in Zelle D2 und den Excel-Formeln in den Zellen D1 und D3 lediglich für nichtnegative ganzzahlige n bestimmen, da numerische Argumente zu ganzen Zahlen gekürzt werden. Eine Berechnung über die Excel-Formel BINOMVERT(k;n;0,5;0)/0,5^n in Zelle D4 führt  bei nichtganzzahligen n ebenfalls nicht zu den gewünschten Ergebnissen.

Demgegenüber können die Excel-Formeln in den Zellen D5:D7 und die benutzerdefinierte Funktion BINC(n;k) in Zelle D8  bei einer Berechnung des Binomialkoeffizienten für nichtnegative reelle n herangezogen werden wie Beispiel 2 zeigt.


Beispiel 2 Binomialkoeffizient

Formeln in der Tabelle:
D1: =FAKULTÄT(B1)/(FAKULTÄT(B2)*(FAKULTÄT(B1-B2)))
D2: =KOMBINATIONEN(B1;B2)
D3: =1/HYPGEOMVERT(B2;B2;B2;B1)
D4: =BINOMVERT(B2;B1;0,5;0)/0,5^B1
D5: {=PRODUKT((B1-(ZEILE(INDIREKT(1&":"&B2))-1))/(ZEILE(INDIREKT(1&":"&B2))))}
D6: =EXP(GAMMALN(B1+1)-GAMMALN(B2+1)-GAMMALN(B1-B2+1)
D7: =EXP(GAMMALN.GENAU(B1+1)-GAMMALN.GENAU(B2+1)-GAMMALN.GENAU(B1-B2+1)
D8: =BINC(B1;B2)

wobei die Excel-Formel in Zelle D5 als Arrayformel eingegeben werden muss.

 

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